Eigenvalue problems with sign-changing coefficients

We consider a class of eigenvalue problems involving coefficients changing sign on the domain of interest. We describe the main spectral properties of these problems according to the features of the coefficients. Then, under some assumptions on the mesh, we explain how one can use classical finite element methods to approximate the spectrum as well as the eigenfunctions while avoiding spurious modes. We also prove localisation results of the eigenfunctions for certain sets of coefficients. Version française abrégée Problèmes aux valeurs propres en présence de coefficients changeant de signe Nous nous intéressons au problème aux valeurs propres (1) posé dans un domaine borné Ω partitionné en deux régions Ω1, Ω2. Le problème (1) met en jeu des coefficients ς, μ que nous supposons constants non nuls sur Ω1, Ω2. Ces constantes peuvent être de signes différents. Nous fournissons d’abord des critères assurant que le spectre de (1) est discret, propriété qui n’est pas toujours satisfaite lorsqu’à la fois ς et μ changent de signe. Lorsqu’un seul coefficient (ς ou μ) change de signe, on peut aussi montrer que le spectre de (1) est réel, constitué de deux suites de valeurs propres (λ±n)n≥1 telles que limn→+∞ λ±n = ±∞. Dans un second temps, moyennant certaines hypothèses sur le maillage, nous expliquons comment on peut utiliser les méthodes éléments finis classiques pour approcher le spectre ainsi que les fonctions propres. Pour ce faire, nous utilisons la théorie d’approximation des opérateurs compacts développée notamment par Babuška et Osborn [2]. Il est à noter que lorsque ς et/ou μ change(nt) de signe, l’approximation numérique de (1) doit être réalisée avec soin pour éviter la pollution spectrale [11]. Nous établissons ensuite un résultat de localisation des fonctions propres u±n associées aux λ±n dans le cas où un seul coefficient (ς ou μ) change de signe. Plus précisément, nous prouvons que les u±n deviennent confinées ou bien dans Ω1, ou bien dans Ω2, lorsque n→ +∞. Enfin, nous présentons des tests numériques illustrant ce confinement, ainsi que la convergence des valeurs propres.